Làm thế nào để tìm diện tích của một đoạn tròn

Một trong những vấn đề hình học phổ biến là tính diện tích của một đoạn tròn - phần của một vòng tròn giới hạn bởi một hợp âm và hợp âm tương ứng của một vòng cung của một vòng tròn.

Diện tích của phân đoạn tròn bằng với chênh lệch giữa diện tích của khu vực hình tròn tương ứng và diện tích của tam giác được hình thành bởi bán kính của phân khúc tương ứng của khu vực và hợp âm giới hạn phân khúc.

Ví dụ 1

Độ dài của hợp âm hợp đồng một vòng tròn bằng giá trị của a. Thước đo độ của cung tương ứng với hợp âm là 60 °. Tìm diện tích của đoạn tròn.

Giải pháp

Một tam giác được hình thành bởi hai bán kính và một hợp âm là cân bằng, do đó, chiều cao được vẽ từ đỉnh của góc trung tâm đến cạnh của tam giác được tạo bởi hợp âm cũng sẽ là phân giác của góc trung tâm, chia đôi và trung tuyến, giảm một nửa hợp âm. Biết rằng sin của góc trong một tam giác vuông cân bằng với tỷ lệ của cạnh đối diện với cạnh huyền, chúng ta có thể tính được bán kính:

Tội 30 ° = a / 2: R = 1/2;

R = a.

Diện tích của khu vực tương ứng với một góc nhất định có thể được tính theo công thức sau:

Sc = πR² / 360 ° * 60 ° = πa² / 6

Diện tích của tam giác tương ứng với khu vực được tính như sau:

S = 1/2 * ah, trong đó h là chiều cao được vẽ từ đỉnh của góc trung tâm đến hợp âm. Theo định lý Pythagore, h = (R²-a² / 4) = 3 * a / 2.

Theo đó, S = √3 / 4 * a².

Diện tích của đoạn, được tính là Sseg = Sc - S, bằng:

Sseg = πa² / 6 - /3 / 4 * a²

Thay thế một giá trị số thay vì a, bạn có thể dễ dàng tính giá trị số của khu vực phân khúc.

Ví dụ 2

Bán kính của đường tròn bằng a. Thước đo độ của cung tương ứng với đoạn là 60 °. Tìm diện tích của đoạn tròn.