Cách tính diện tích hình bình hành được xây dựng trên các vectơ

Trên bất kỳ hai vectơ noncollinear và nonzero, hình bình hành có thể được xây dựng. Hai vectơ này sẽ hợp đồng một hình bình hành nếu bạn kết hợp nguồn gốc của chúng tại một điểm. Kết thúc các cạnh của hình.

Hướng dẫn sử dụng

1

Tìm độ dài của vectơ nếu tọa độ của chúng được cho. Ví dụ, vectơ A có tọa độ (a1, a2) trong mặt phẳng. Khi đó độ dài của vectơ A là | A | = √ (a1² + a2²). Tương tự, chúng ta tìm mô-đun của vectơ B: | B | = √ (b1² + b2²), trong đó b1 và b2 là tọa độ của vectơ B trên mặt phẳng.

2

Vùng hình bình hành được tìm thấy theo công thức S = | A | • | B | • sin (A ^ B), trong đó A ^ B là góc giữa các vectơ A và B. Có thể tìm thấy sin thông qua cosin bằng cách sử dụng nhận dạng lượng giác cơ bản: sin²α + cos²α = 1. Cosin có thể được biểu thị dưới dạng tích vô hướng của vectơ được viết theo tọa độ.

3

Tích vô hướng của vectơ A bởi vectơ B được ký hiệu là (A, B). Theo định nghĩa, nó bằng (A, B) = | A | • | B | • cos (A ^ B). Và trong tọa độ, sản phẩm vô hướng được viết như sau: (A, B) = a1 • b1 + a2 • b2. Từ đây chúng ta có thể biểu thị cosin của góc giữa các vectơ: cos (A ^ B) = (A, B) / | A | • | B | = (a1 • b1 + a2 • b2) / √ (a1² + a2²) • √ (a2² + b2²). Trong tử số, tích vô hướng, trong mẫu số, độ dài của vectơ.

4

Bây giờ chúng ta có thể biểu thị sin từ nhận dạng lượng giác chính: sin²α = 1-cos²α, sinα = ± (1-cos²α). Nếu chúng ta giả sử rằng góc α giữa các vectơ là cấp tính, thì điểm trừ với sin có thể bị loại bỏ, chỉ để lại dấu cộng, vì sin của góc nhọn chỉ có thể dương (hoặc bằng 0 ở góc 0, nhưng ở đây góc không bằng 0, điều này được hiển thị trong điều kiện tính không cộng hưởng của vectơ).

5

Bây giờ chúng ta cần thay thế biểu thức tọa độ cho cosin trong công thức sin. Sau này, nó vẫn chỉ để viết kết quả trong công thức diện tích hình bình hành. Nếu tất cả điều này được thực hiện và biểu thức số được đơn giản hóa, thì nó chỉ ra rằng S = a1 • b2-a2 • b1. Do đó, diện tích của hình bình hành được xây dựng trên các vectơ A (a1, a2) và B (b1, b2) được tìm thấy bởi công thức S = a1 • b2-a2 • b1.

6

Biểu thức kết quả là định thức của ma trận gồm các tọa độ của vectơ A và B: a1 a2b1 b2.

7

Thật vậy, để có được một định thức của ma trận hai chiều, chúng ta cần nhân các phần tử của đường chéo chính (a1, b2) và trừ đi sản phẩm của các phần tử của đường chéo bên (a2, b1).