Cách giải hệ phương trình

Không khó để giải hệ phương trình bằng cách sử dụng các phương pháp cơ bản để giải hệ phương trình tuyến tính: phương pháp thay thế và phương pháp cộng.

Hướng dẫn sử dụng

1

Chúng ta hãy xem xét các phương pháp để giải một hệ phương trình bằng cách sử dụng một ví dụ về hệ hai phương trình tuyến tính có hai giá trị chưa biết. Nói chung, một hệ thống như vậy được viết như sau (ở bên trái, các phương trình được kết hợp với dấu ngoặc nhọn):

rìu + b = c

dx + ey = f, ở đâu

a, b, c, d, e, f là các hệ số (số cụ thể) và x và y, như thường lệ, không xác định. Các số a, b, c, d được gọi là các hệ số cho ẩn số, và c và f được gọi là các số hạng tự do. Giải pháp cho một hệ phương trình như vậy được tìm thấy bằng hai phương pháp chính.

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thay thế.

1. Chúng tôi lấy phương trình đầu tiên và biểu thị một trong những ẩn số (x) theo các hệ số và ẩn số khác (y):

x = (s-by) / a

2. Thay biểu thức thu được cho x vào phương trình thứ hai:

d (c-by) / a + eye = f

3. Giải phương trình kết quả, chúng ta tìm biểu thức cho y:

y = (af-cd) / (ae-bd)

4. Thay biểu thức kết quả cho y vào biểu thức cho x:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Ví dụ: bạn cần giải hệ phương trình:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Tìm giá trị của x từ phương trình thứ nhất:

x = (2y + 4) / 3

Thay biểu thức kết quả vào phương trình thứ hai và nhận phương trình với một biến (y):

(2y + 4) / 3 + 3y = 5, từ đâu chúng tôi nhận được:

y = 1

Bây giờ chúng ta thay thế giá trị tìm thấy của y trong biểu thức cho biến x:

x = (2 * 1 + 4) / 3 = 2

Trả lời: x = 2, y = 1.

2

Giải pháp của hệ phương trình bằng phương pháp cộng (trừ).

Phương pháp này giảm để nhân cả hai vế của các phương trình với các số (tham số) sao cho kết quả là các hệ số của một trong các biến trùng nhau (có thể có dấu ngược lại).

Trong trường hợp chung, cả hai vế của phương trình thứ nhất phải được nhân với (-d) và cả hai vế của phương trình thứ hai với a. Kết quả là, chúng tôi nhận được:

-adx-bdу = -cd

adx + aey = af

Thêm các phương trình kết quả, chúng tôi có được:

-bdu + aeu = -cd + af, từ đâu chúng ta có được biểu thức cho biến y:

y = (af-cd) / (ae-bd), thay thế biểu thức cho y trong bất kỳ phương trình nào của hệ thống, chúng ta có được:

ax + b (af-cd) / (ae-bd) = c?

Từ phương trình này, chúng ta tìm thấy ẩn số thứ hai:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Một ví dụ. Giải hệ phương trình bằng cách cộng hoặc trừ:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Nhân phương trình thứ nhất với (-1) và phương trình thứ hai với 3:

-3x + 2y = -4

3x + 9y = 15

Thêm (thuật ngữ theo thuật ngữ) cả hai phương trình, chúng tôi có được:

11y = 11

Chúng ta nhận được ở đâu:

y = 1

Chúng tôi thay thế giá trị thu được cho y vào bất kỳ phương trình nào, ví dụ, vào phương trình thứ hai, chúng tôi nhận được:

3x + 9 = 15, từ đâu

x = 2

Trả lời: x = 2, y = 1.